Mesure de longueurs dans des polygones réguliers

Propriété

Le périmètre \(p\) d'un polygone régulier à \(n\) côtés de longueur \(l\) est : \(\boxed{p=n\times l}\).

Propriété
La hauteur \(h\) d'un triangle équilatéral de côté de longueur \(l\) est : \(\boxed{h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}l}\).

Démonstration

Soit \(\text{ABC}\) un triangle équilatéral et \([\text{AH}]\) la hauteur relative au côté \([\text{BC}]\).
Le triangle \(\text{AHB}\) est rectangle en \(\text H\) avec \(\text{AB}=l\) et \(\text{BH}=\dfrac{l}{2}\).
D'après le théorème de Pythagore, \(\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{BH}^2\).
On a :

\(\text{AH}^2=\text{AB}^2-\text{BH}^2\\\text{AH}^2=l^2-\Big(\dfrac{l}{2}\Big)^2\\\text{AH}^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}\\\text{AH}^2=\dfrac{3l^2}{4}\) 

On en déduit que la longueur de la hauteur du triangle équilatéral est : \(h=\text{AH}=\sqrt{\dfrac{3l^2}{4}}={\dfrac{\sqrt{3}}{2}}l\).

Propriété

La longueur \(d\) de la diagonale d'un carré de côté de longueur \(l\) est : \(\boxed{d=l\sqrt2}\).

Démonstration

Soit \(\text{ABCD}\) un carré. Les deux diagonales \([\text{AC}]\) et \([\text{BD}]\) sont de même longueur.
Cherchons la longueur de la diagonale \([\text{AC}]\). 
Le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) avec \(\text{AB}=\text{BC}=l\).
D'après le théorème de Pythagore, \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\).
On a :
\(\text{AC}^2=l^2+l^2 \\\text{AC}^2=2l^2 \\\text{AC}=\sqrt{2l^2}\) 
On en déduit que la longueur de la diagonale du carré est \(d=\text{AC}=\sqrt{2l^2}=l{\sqrt{2} }\).